Week 5: Solving Strategy 2(DP) =========== 定義 ------------------------------- dynamic programming (also known as dynamic optimization) is a method for solving a complex problem by breaking it down into a collection of simpler subproblems, solving each of those subproblems just once, and storing their solutions - ideally, using a memory-based data structure
[Reference](https://en.wikipedia.org/wiki/Dynamic_programming)

DP全名為 Dynamic Programming (動態規劃) ,將問題切分多個子問題,簡化問題的複雜度,最後將所以子問題合併得到解答。 特性 --------------------------------- If the problem also shares an [optimal substructure](https://en.wikipedia.org/wiki/Optimal_substructure) property, [dynamic programming](https://en.wikipedia.org/wiki/Dynamic_programming) is a good way to work it out.

[Reference](https://en.wikipedia.org/wiki/Overlapping_subproblems)
> ** DP的題目有兩個重要的特性 ** > 1. Optimal Substructure (最佳子問題) > 2. Overlapping Subproblem(子問題重疊)
> Q. Why memorization is ineffective in speed up a good divide-and-conquer algorithm such as MERGE_SORT ? > > sol) > without overlapping. 如果沒有重疊的子問題,我們會發現時間複雜度並不會因為使用DP而降低,這是因為每次的子問題並沒有重複得部份! > Example Coin Change (錢幣交換) ------- 想法: > dp[i]:i 價位是否可以湊的 (false/true) > v[k]:第k種硬幣 > > 如果i-v[k]價位可以湊得,那麼i必定也可以湊得 > ** If (dp[ i – v[k] ] == true) dp[ i ] = true; ** 每種硬幣數量的差異:
  1. 1 個硬幣
  2. + dp 的 index 由大到小掃過進行更新。 + 圖示:N = 1,意即每個硬幣有 1 個。
  3. N 個硬幣
  4. + dp 的 index 由大到小 N 次 + 圖示:假設 N = 2,意即每個硬幣有 2 個。
  5. 無限硬幣
  6. + dp 的 index 由小到大掃過進行更新。 + 圖示:硬幣有無限多個。
如果題目為湊得該價位有幾種方法,dp所紀錄的是方法數,dp[0]為1,不斷累加方法數到i==該價位 If (dp[ i - v[k] ] == true) dp[ i ] += dp[ i - v[k] ]; ============= 0/1 Knapsack Problem (0-1背包問題) ------------- Knapsack Problem:背包問題 將一堆物品塞進背包,要使背包裡的物品總價值最高, 但背包有耐重限制,所以塞的太重的話,背包就會撐 破。 0/1: 物品只會放進背包0個或1個,物品不可切割,所以只 有不放或者全放兩種可能。 想法: dp[m]:在m重量下目前的最佳價值 v[i]:物品i的價值 w[i]:物品i的重量 ** 類似硬幣交換的作法,不過dp[m]所紀錄的是目前使用i種物品在m重量可以得到的最佳價值,當發現某物品在相同重量下可以創造更佳的價值就進行更新 dp[m] = max( dp[m], dp[m - w[i]] + v[i] ); DP v.s Greedy Algorithm ============================ Greedy 相較 DP 多出一個性質 - Greedy Choice,即每次只要挑選最佳的選擇,最後必定可以得到最佳解。 如果今天一件物品可以任意分割成數份,此問題變成為fractional背包問題,因為沒有最後一個物品塞不下的問題,每次只要挑選最高性價比(CP值)的物品,最終一定可以達到最高價值。 此問題與0/1背包問題差別就在於fractional背包問題有Greedy Choice特性,因此可以用速度更快的Greedy Algorithm來得到解。