--- title: Sampling Theorem ... Sampling Theorem 證明 =================== * 訊號轉換公式 - 類比訊號如何用數位的形式放到電腦記憶體中? - 公式: X[n]=X(nTs) ![](/embedded/ADC/Sampling_Theorem/01.png) * 連續弦波的表示式 - X(t) = Acos(ωt+φ) - A: 振幅 - ω: 角頻率 - φ: 相位(相角) * 取樣頻率多少才夠? - 直覺想法: 一個周期至少要有`波峰`、`波谷`,你才有機會重現原來的波形,只取一個點會變成直流 - 數學推導 * 先了解aliasing現象,也就是取樣頻率不夠的時候會怎麼樣 - alias: 別名(n)、取代(v) - 取樣頻率低於2倍最高訊號頻率而導致失真、原先的弦波被錯誤的取樣弦波取代,這個現象稱為aliasing - 以下圖為例,原先的弦波被紅色的弦波給取代掉(EX:歌聲男聲女聲) ![](/embedded/ADC/Sampling_Theorem/02.png) * Sampling Theorem(Shannon sampling theorem) - 取樣頻率多少才夠? 兩倍以上才不會失真、才不會被取代掉 - Depends on frequency of Sinusoid(弦波) - X(t), fmax( X(t)裡面最高的頻率 ) - X[n] = X(nTs) - 這是 uniform sampling的情況下 - fs = 1/Ts > 2fmax - 當取樣頻率為原訊號之最高頻率之兩倍以上時,才可以正確的重建原始訊號 * 用 Discrete-Time Sinusoid - 主要講 ω hat: digital frequency的概念 ![](/embedded/ADC/Sampling_Theorem/03.png) - EX: 100Hz 用 1000 Hz 取樣 - 可以劃出頻譜 - cos 裡面住著兩個 exponential,一個在正,一個在負 - 0.2 pi 有一個 pick, -0.2 pi 也會有一個 pick - 強度就是 Aejφ /2 、 -Aejφ /2 ![](/embedded/ADC/Sampling_Theorem/04.png) - EX: 100Hz 用 100Hz 取樣 - 中間有一段是透過Euler's formula做轉換 ![](/embedded/ADC/Sampling_Theorem/formula_01.png) ![](/embedded/ADC/Sampling_Theorem/05.png) - 產生 aliasing,無法辨認 - 數位的頻譜和類比的頻譜就是有很多 alias - 每個 2 pi 都會有一個alias - 強度一樣是 Aejφ /2 、 -Aejφ /2 * 電腦會重建最低的頻率,王力宏(男聲) v.s. 張惠妹(女聲) ![](/embedded/ADC/Sampling_Theorem/06.png) - 舉例下圖中,紅色的線是男聲、黑色的線是女聲 ![](/embedded/ADC/Sampling_Theorem/07.png) * 推導 aliasing之間的關係 - 可以代入數字看看 - 頻率加上取樣頻率 ![](/embedded/ADC/Sampling_Theorem/08.png) - 要取的頻譜要是alias中頻率最低的 - 100 取 1000 ![](/embedded/ADC/Sampling_Theorem/09.png) - 100 取 80 ![](/embedded/ADC/Sampling_Theorem/10.png) - 最後證明 ![](/embedded/ADC/Sampling_Theorem/11.png) 參考資料來源 =============== * [Wiki - Nyquist–Shannon sampling theorem](https://en.wikipedia.org/wiki/Nyquist%E2%80%93Shannon_sampling_theorem) * [Aliasing](https://en.wikipedia.org/wiki/Aliasing) * [(New) 信號與系統 Lec 3-1 (取樣 Sampling, 類比數位轉換 Analog to Digital Conversion) 訊號與系統](https://www.youtube.com/watch?v=0ADN1m3mXQE) * [(New) 信號與系統 Lec 3-2 (取樣定理 Sampling Theorem) 訊號與系統 Signal and System](https://www.youtube.com/watch?v=Yn62JYNkQdM)