Week 5: Solving Strategy 2(DP) =========== Dynamic Programming ====================== dynamic programming (also known as dynamic optimization) is a method for solving a complex problem by breaking it down into a collection of simpler subproblems, solving each of those subproblems just once, and storing their solutions - ideally, using a memory-based data structure * Reference to https://en.wikipedia.org/wiki/Dynamic_programming DP全名為 Dynamic Programming (動態規劃) ，將問題切分多個子問題，簡化問題的複雜度，最後將所以子問題合併得到解答。 特性 ============= If the problem also shares an [optimal substructure](https://en.wikipedia.org/wiki/Optimal_substructure) property, [dynamic programming](https://en.wikipedia.org/wiki/Dynamic_programming) is a good way to work it out. * Reference to [Overlapping_subproblems](https://en.wikipedia.org/wiki/Overlapping_subproblems) DP的題目有兩個重要的特性 ------- 1.Optimal Substructure (最佳子問題) 2.Overlapping Subproblem(子問題重疊) Q. Why memorization is ineffective in speed up a good divide-and-conquer algorithm such as MERGE_SORT ? sol) without overlapping. 如果沒有重疊的子問題，我們會發現時間複雜度並不會因為使用DP而降低，這是因為每次的子問題並沒有重複得部份！ ================== Example ================ Coin Change (錢幣交換) ------- 想法： dp[i]：i 價位是否可以湊的 (false/true) v[k]：第k種硬幣 ** 如果i-v[k]價位可以湊得，那麼i必定也可以湊得 If (dp[ i – v[k] ] == true) dp[ i ] = true; 每種硬幣數量的差異：
  1. 1 個硬幣
    2. + dp 的 index 由大到小掃過進行更新。 + 圖示：N = 1，意即每個硬幣有 1 個。
  2. N 個硬幣
    3. + dp 的 index 由大到小 N 次 + 圖示：假設 N = 2，意即每個硬幣有 2 個。
  3. 無限硬幣
    4. + dp 的 index 由小到大掃過進行更新。 + 圖示：硬幣有無限多個。
如果題目為湊得該價位有幾種方法，dp所紀錄的是方法數，dp[0]為1，不斷累加方法數到i==該價位 If (dp[ i - v[k] ] == true) dp[ i ] += dp[ i - v[k] ]; ============= 0/1 Knapsack Problem (0-1背包問題) ------------- Knapsack Problem:背包問題 將一堆物品塞進背包,要使背包裡的物品總價值最高, 但背包有耐重限制,所以塞的太重的話,背包就會撐 破。 0/1: 物品只會放進背包0個或1個,物品不可切割,所以只 有不放或者全放兩種可能。 想法： dp[m]：在m重量下目前的最佳價值 v[i]：物品i的價值 w[i]：物品i的重量 ** 類似硬幣交換的作法，不過dp[m]所紀錄的是目前使用i種物品在m重量可以得到的最佳價值，當發現某物品在相同重量下可以創造更佳的價值就進行更新 dp[m] = max( dp[m], dp[m - w[i]] + v[i] ); DP v.s Greedy Algorithm ============================ Greedy 相較 DP 多出一個性質 - Greedy Choice，即每次只要挑選最佳的選擇，最後必定可以得到最佳解。 如果今天一件物品可以任意分割成數份，此問題變成為fractional背包問題，因為沒有最後一個物品塞不下的問題，每次只要挑選最高性價比(CP值)的物品，最終一定可以達到最高價值。 此問題與0/1背包問題差別就在於fractional背包問題有Greedy Choice特性，因此可以用速度更快的Greedy Algorithm來得到解。