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title: [UVa] 10408
toc: no
categories: 題解 UVa、數論、priority_queue
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網址
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http://uva.onlinejudge.org/external/104/10408.html

題目概述
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求出 Farey sequences 的第 k 個數字

Farey sequences ( n = 5 ): 1/5, 1/4, 1/3, 2/5, ... , 1/1

分子 = x, 分母 = y

x <= y 

x/y 由小到大 value 不重複排序

Technique details
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1 <= n <= 1000

k 在合理範圍

輸入格式
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每一行是一組測資 : n, k

輸出格式
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每一行是一組測資輸出 : Farey sequences 的第 k 個數字

解題思路
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運用 priority_queue ( min heap)

一開始先建立 1/n, 1/n-1, ... 1/1

之後每次 pop 最小的 x/y

push (x+1)/y

pop 到第 k 個就是答案

想法簡單，但是要小心幾個地方：

1. 雖然 2/4 = 1/2, 但是 2/4 也要 push 進去，不然之後會漏掉 3/4

2. 每次 pop x/y 之後，就要去檢查 visit [ x / gcd(x,y) ] [ y / gcd(x,y) ] 是否出現過，

若有 k 要 +1 ，因為已計算過 (ex: 1/2, 2/4 只算一次)

若沒出現過則記錄 visit [ x / gcd(x,y) ] [ y / gcd(x,y) ] = true