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Convex Hull

定義
演算法介紹

定義

在散所有散佈點中，找出一個凸多邊形可以剛好包含所有的點
像下圖所示
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演算法介紹

有三種方法來找出凸多邊形

Brute Force

說明：
此方法為暴力解，先選擇任意兩個點構成線
假設其他的點都在那條線的左邊（or右邊, 固定一邊）
則此邊為我們要的邊

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pseudo code:

Algorithm CH(P)
E←∅(* edge-list of CH(P) *)
for all ordered pairs (p,q) ∈ p×p, p≠q do
    supporting ← true
    for all points r ∈ P-{p,q} do
        if r is on the right side of pq then supporting ← false
    if supporting then add directed edge pq to E
From the (un-ordered) edge-list E, construct the list of vertices of CH(P) in CCW order in O(n) time. (How?)
end

複雜度：Ｏ(n³)

Graham-Scan

說明：
1.選定起始點，利用起始點跟其他點連線所構成的角度，去sort各個點

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Compare Function:

bool compare_angle(Point& a, Point& b)
{
// 角度相同時,距離長度的判斷。
int c = cross(P[0], a, b);
return c > 0 ||
(c == 0 && length2(P[0], a) < length2(P[0], b)); 
}

2.再開始一個一個點連線，假設有依照順序連到了P3, 就要檢查往前數的第二點P1
，此點與p2, 和p3的外積，如果外積小於0，p3就要連回p1（如下圖所示），如果大於0，就不變
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3.完成後的圖形

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4.Pseudo code

Graham-Scan(Q)
void Graham_scan() {
//將最左下的點移到起點
swap(P[0], min_element);
// 其餘各點依角度排序。O(NlogN) 
sort(P+1, P+N, compare_angle);
// 直接把中心點作為起點,開始包覆,逆時針方向。 
O(N)P[N] = P[0]; // 讓程式方便處理包至最後一點的情況。
for (int i=0; i<=N; ++i){
// 掃除凹陷的點
// 添加新的點 // 扣掉最後一個點
}

Andrew’s Monotone Chain

step1:將所有點按座標大小排序
step2:將下半部圍起來
step3:維持下半部不動，將上半部圍起來
step4:刪去重複的起點

STEP1: 依照每個點的x座標進行排序
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STEP2:

int m=0;
for(int i=0; i<N; i++)
{
 while(m>=2 &&
        cross(CH[m-2], CH[m-1], P[i] <= 0) m--;
 CH[m++] = P[i];
}

link label

STEP3:

for(int i=N-2, t=m+1; i>=0; --i)
{
 while(m>=t &&
        cross(CH[m-2], CH[m-1], P[i] <= 0) m--;
 CH[m++] = P[i];
}

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STEP4:刪除最後一個點
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