acm/course/SCC

SCC(Strongly Connected Component)

SCC(Strongly Connected Component)

Graph

###互相連接的圖(graph/component) - 若是在兩圖間存在成對的節點(vertex)，且兩節點存在至少一條連接路徑 & 不可再加進其他節點，則兩圖互相連接。

###關鍵節點(articulation(cut-vertex)) - 移除關鍵節點，則圖一分為二。

###關鍵路徑(bridge(cut-edge)) - 同關鍵節點，移除關鍵路徑，則圖一分為二。

Articulation/Bridge

###在圖中尋找關鍵節點 - 因為移除關鍵節點後圖會分離，最簡單直接的方式就是每個點都移除看看。 - 也就是 V 次 DFS => O(V*(V+E)) 這明顯太慢了。 - 若不是關鍵節點，則可以找到替代路徑。 - 那麼只要尋找環，就能達到目的。 - 方法也是採用 DFS ，但只要 O(V+E) 的時間複雜度。

###概念 - 若節點 u 是關鍵節點。 - 則 u 的子節點不會連接到u之前的節點。 - 或 u 是 root & 至少有兩個子節點。 - 否則僅為節點。 - 兩關鍵節點間的直接連接路徑，即為關鍵路徑。

###演算法 - 使用變數 - dfn[i]-時間標記，DFS時初次訪問此節點的順序 - low[i]=min(dfn[i], lowest low[j])-可以理解為此節點隸屬於哪一關鍵節點之下 - 關鍵節點 - u 的子節點不會連接到u之前的節點 -> dfn[i]<=low[j] & j 是 i 的子節點 - u 是 root & 至少有兩個子節點 -> count child>=2 - 關鍵路徑 - 兩關鍵節點 i 、 j -> dfn[u]<low[v] & j 是 i 的子節點 - Code

void dfs(int pre , int cur){
    int child = 0;
    bool cut_vertex = false;
    low[cur] = dfn[cur] = ++cnt_dfn;

    for(int &i : edge[cur]){
        if(!dfn[i]){
            dfs(cur , i);
            low[cur] = min(low[cur] , low[i]);
            ++child;
            if(low[i] >= dfn[cur]) cut_vertex = true;
        }
        else if(i != pre) low[cur] = min(low[cur] , dfn[i]);
    }

    if(cut_vertex && (child > 1 || pre != -1)) ++ans;
}

Strongly Connected Component(SCC)

因為一張圖上有環，演算法的效率會變差。
所以我們要想辦法收縮所有的SCC跟環，這樣圖就變成一顆樹，或有向無環圖（DAG）了。

###Tarjan

Tarjan就是一種演算法，可以用來找到環的個數
- 演算法中會用到前段的概念，請務必先理解
Code

void Tarjan(int cur){
    int top;
    low[cur] = dfn[cur] = ++cnt_dfn;
    stack.push_back(cur);
    in_stack[cur] = true;

    for(int &i : edge[cur]){
        if(!dfn[i]){
            dfs(i);
            low[cur] = min(low[cur] , low[i]);
        }
        else if(in_stack[i]) low[cur] = min(low[cur] , dfn[i]);
    }
    if(dfn[cur] == low[cur]){
        do{
            top = stack.top();
            stack.pop();
            in_stack[top] = false;
        } while(top != cur);
        ++ans;
    }
}