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title: Sampling Theorem
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Sampling Theorem 證明
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* 訊號轉換公式
    - 類比訊號如何用數位的形式放到電腦記憶體中?
    - 公式: X[n]=X(nTs)

![](/embedded/ADC/Sampling_Theorem/01.png)

* 連續弦波的表示式
    - X(t) = Acos(ωt+φ) 
        - A: 振幅
        - ω: 角頻率
        - φ: 相位(相角)
* 取樣頻率多少才夠?
    - 直覺想法: 一個周期至少要有`波峰`、`波谷`，你才有機會重現原來的波形，只取一個點會變成直流
    - 數學推導
* 先了解aliasing現象，也就是取樣頻率不夠的時候會怎麼樣
    - alias: 別名(n)、取代(v)
    - 取樣頻率低於2倍最高訊號頻率而導致失真、原先的弦波被錯誤的取樣弦波取代，這個現象稱為aliasing
    - 以下圖為例，原先的弦波被紅色的弦波給取代掉(EX:歌聲男聲女聲)

![](/embedded/ADC/Sampling_Theorem/02.png)

* Sampling Theorem(Shannon sampling theorem)
    - 取樣頻率多少才夠? 兩倍以上才不會失真、才不會被取代掉
        - Depends on frequency of Sinusoid(弦波)
            - X(t), fmax( X(t)裡面最高的頻率 )
            - X[n] = X(nTs)
                - 這是 uniform sampling的情況下
            - fs = 1/Ts > 2fmax
                - 當取樣頻率為原訊號之最高頻率之兩倍以上時，才可以正確的重建原始訊號
* 用 Discrete-Time Sinusoid
    - 主要講 ω hat: digital frequency的概念

![](/embedded/ADC/Sampling_Theorem/03.png)

    - EX: 100Hz 用 1000 Hz 取樣
        - 可以劃出頻譜
            - cos 裡面住著兩個 exponential，一個在正，一個在負
            - 0.2 pi 有一個 pick， -0.2 pi 也會有一個 pick
            - 強度就是 Aejφ /2 、 -Aejφ /2

![](/embedded/ADC/Sampling_Theorem/04.png)

    - EX: 100Hz 用 100Hz 取樣
        - 中間有一段是透過Euler's formula做轉換
        

![](/embedded/ADC/Sampling_Theorem/formula_01.png)

![](/embedded/ADC/Sampling_Theorem/05.png)   

        - 產生 aliasing，無法辨認
        - 數位的頻譜和類比的頻譜就是有很多 alias
            - 每個 2 pi 都會有一個alias
            - 強度一樣是 Aejφ /2 、 -Aejφ /2

* 電腦會重建最低的頻率，王力宏(男聲) v.s. 張惠妹(女聲)

![](/embedded/ADC/Sampling_Theorem/06.png)

    - 舉例下圖中，紅色的線是男聲、黑色的線是女聲

![](/embedded/ADC/Sampling_Theorem/07.png)

* 推導 aliasing之間的關係
    - 可以代入數字看看
    - 頻率加上取樣頻率

![](/embedded/ADC/Sampling_Theorem/08.png)

    - 要取的頻譜要是alias中頻率最低的
    - 100 取 1000

![](/embedded/ADC/Sampling_Theorem/09.png)

    - 100 取 80

![](/embedded/ADC/Sampling_Theorem/10.png)

    - 最後證明

![](/embedded/ADC/Sampling_Theorem/11.png)

參考資料來源
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* [Wiki - Nyquist–Shannon sampling theorem](https://en.wikipedia.org/wiki/Nyquist%E2%80%93Shannon_sampling_theorem)
* [Aliasing](https://en.wikipedia.org/wiki/Aliasing)
* [(New) 信號與系統 Lec 3-1 (取樣 Sampling, 類比數位轉換 Analog to Digital Conversion) 訊號與系統](https://www.youtube.com/watch?v=0ADN1m3mXQE)
* [(New) 信號與系統 Lec 3-2 (取樣定理 Sampling Theorem) 訊號與系統 Signal and System](https://www.youtube.com/watch?v=Yn62JYNkQdM)