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Sampling Theorem

Sampling Theorem 證明

  • 訊號轉換公式
    • 類比訊號如何用數位的形式放到電腦記憶體中?
    • 公式: X[n]=X(nTs)
  • 連續弦波的表示式
    • X(t) = Acos(ωt+φ)
      • A: 振幅
      • ω: 角頻率
      • φ: 相位(相角)
  • 取樣頻率多少才夠?
    • 直覺想法: 一個周期至少要有波峰波谷,你才有機會重現原來的波形,只取一個點會變成直流
    • 數學推導
  • 先了解aliasing現象,也就是取樣頻率不夠的時候會怎麼樣
    • alias: 別名(n)、取代(v)
    • 取樣頻率低於2倍最高訊號頻率而導致失真、原先的弦波被錯誤的取樣弦波取代,這個現象稱為aliasing
    • 以下圖為例,原先的弦波被紅色的弦波給取代掉(EX:歌聲男聲女聲)
  • Sampling Theorem(Shannon sampling theorem)
    • 取樣頻率多少才夠? 兩倍以上才不會失真、才不會被取代掉
      • Depends on frequency of Sinusoid(弦波)
        • X(t), fmax( X(t)裡面最高的頻率 )
        • X[n] = X(nTs)
          • 這是 uniform sampling的情況下
        • fs = 1/Ts > 2fmax
          • 當取樣頻率為原訊號之最高頻率之兩倍以上時,才可以正確的重建原始訊號
  • 用 Discrete-Time Sinusoid
    • 主要講 ω hat: digital frequency的概念
  • EX: 100Hz 用 1000 Hz 取樣
  • 可以劃出頻譜
    • cos 裡面住著兩個 exponential,一個在正,一個在負
    • 0.2 pi 有一個 pick, -0.2 pi 也會有一個 pick
    • 強度就是 Aejφ /2 、 -Aejφ /2
  • EX: 100Hz 用 100Hz 取樣
    • 中間有一段是透過Euler’s formula做轉換
  • 產生 aliasing,無法辨認
  • 數位的頻譜和類比的頻譜就是有很多 alias
    • 每個 2 pi 都會有一個alias
    • 強度一樣是 Aejφ /2 、 -Aejφ /2
  • 電腦會重建最低的頻率,王力宏(男聲) v.s. 張惠妹(女聲)
  • 舉例下圖中,紅色的線是男聲、黑色的線是女聲
  • 推導 aliasing之間的關係
    • 可以代入數字看看
    • 頻率加上取樣頻率
  • 要取的頻譜要是alias中頻率最低的
  • 100 取 1000
  • 100 取 80
  • 最後證明

參考資料來源