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acm/course/LINE_Intersection

Week 15: LINE_Intersection

Computational Geometry

Q:我們要學什麼?

A:為了讓電腦幫我們運算幾何問題,學習如何將問題表示為電腦看得懂的樣子。

Struct

基本的幾何形狀有三大要素,點、線、面。

平面中一個點(x,y)

typedef struct Point{
   double x,y;
   Point(double x=0 ,double y=0) : x(x) ,y(y) {}
}Point;

平面中一條線段,可以有許多不同的表示法。

兩點式:紀錄直線上任意兩點,即可表一直線。

struct Line{
   double x1,y1;
   double x2,y2;
}line;

點斜式:紀錄直線上任意一點,以及直線的斜率,即可表一直線。

struct Line{
   double m;
   double x,y;
}line;

空間中一個平面,可以有許多不同表示法。

紀錄平面上不共線三點,即可表一平面。

struct Surface{
   double x1,y1,z1;
   double x2,y2,z2;
   double x3,y3,z3;
}surface;

紀錄平面的法向量,以及通過平面上一點,即可表一平面。

struct Surface{
   double nx,ny,nz;
   double x,y,z;
}surface;

Vector

資料結構與點相同

向量可以用來進行多種運算

Ex:加、減、乘、除、內 積、外積、夾角等。

程式:

typedef Point Vector;
Vector operator + (Vector A,Vector B) { return Vector(A.x+B.x,A.y+B.y); }
Vector operator - (Point A,Point B) { return Vector(A.x-B.x,A.y-B.y); }
Vector operator * (Vector A,double p) { return Vector(A.x*p,A.y*p); }
Vector operator / (Vector A,double p) { return Vector(A.x/p,A.y/p); }
bool operator < (const Point &A,const Point &B){
   return A.x < B.x || (A.x == B.x && A.y < B.y); }

int dcmp (double x){
   if (fabs(x)<eps) return 0;
   else return x < 0 ? -1 : 1;
}

bool operator == (const Point &A, const Point &B){
   return dcmp(A.x-B.x) == 0 && dcmp(A.y-B.y) == 0; }

double Dot(Vector A,Vector B) { return A.x*B.x + A.y*B.y; }
double Length(Vector A) { return sqrt (Dot(A,A)); }
double dis_2p(Point A,Point B) {
   return sqrt((double)((A.x-B.x)*(A.x-B.x) + (A.y-B.y)*(A.y-b.y)));
}
double  Angle(Vector A,Vector B){
   return acos( Dot(A,B)/Length(A)/Length(B) );
}
double Cross(Vector A,Vector B){ return A.x*B.y-A.y*B.x; }

加法

相同座標的項相加。

Vector operator + (Vector A,Vector B) { return Vector(A.x+B.x,A.y+B.y); }

減法

相同座標的項相減。

Vector operator - (Point A,Point B) { return Vector(A.x-B.x,A.y-B.y); }

乘法

所有座標的項乘一常數。

Vector operator * (Vector A,double p) { return Vector(A.x*p,A.y*p); }

除法

所有座標的項除一常數。

Vector operator / (Vector A,double p) { return Vector(A.x/p,A.y/p); }

小於

從最左邊的座標開始比,輸出最小的。

bool operator < (const Point &A,const Point &B){
   return A.x < B.x || (A.x == B.x && A.y < B.y); }

全等

所有座標的項都一樣。

int dcmp (double x){
   if (fabs(x)<eps) return 0;
   else return x < 0 ? -1 : 1;
}

bool operator == (const Point &A, const Point &B){
   return dcmp(A.x-B.x) == 0 && dcmp(A.y-B.y) == 0; }

內積

兩向量內積

double Dot(Vector A,Vector B) { return A.x*B.x + A.y*B.y; }

外積

兩向量外積

double Cross(Vector A,Vector B){ return A.x*B.y-A.y*B.x; }

長度

向量長度

double Length(Vector A) { return sqrt (Dot(A,A)); }

角度

兩向量間的夾角

double  Angle(Vector A,Vector B){
   return acos( Dot(A,B)/Length(A)/Length(B) );

Cross

兩向量順逆時針的方向

多邊形面積

double polygon_area(Polygon input){
   double A=0;
   for(int i=0;i<input.num;i++)
      A+=Cross(input.p[i],input.p[i+1]);
   return fabs(A/2);
}

點到直線的距離

公式解

Segment

用兩點式來判斷線段相交情形

int in_interval(Point P1,Point P2,Point P3){
   // check if p3 is between p1 p2   return 1 yes 0 no
   Point min,max;
   if(P1.x>P2.x)min.x=P2.x,max.x=P1.x;
   else     min.x=P1.x,max.x=P2.x;
   if(P1.y>P2.y)min.y=P2.y,max.y=P1.y;
   else     min.y=P1.y,max.y=P2.y;
   if(min.x<=P3.x&&P3.x<=max.x&&min.y<=P3.y&&P3.y<=max.y)return 1;
   else return 0;
}
int segments_intersect(Point A,Point B,Point C,Point D){
   //check if segment AB CD has intersection return 1 yes 0 no
   double d1=Cross( A-C , D-C );
   double d2=Cross( B-C , D-C );
   double d3=Cross( C-A , B-A );
   double d4=Cross( D-A , B-A );
   if(dcmp(d1*d2)<0 && dcmp(d3*d4)<0) return 1;
   if( dcmp(d1)==0 && in_interval(C,D,A)==1 )return 1;
   if( dcmp(d2)==0 && in_interval(C,D,B)==1 )return 1;
   if( dcmp(d3)==0 && in_interval(A,B,C)==1 )return 1;
   if( dcmp(d4)==0 && in_interval(A,B,D)==1 )return 1;
   return 0;

相交

正常情況下

A和B在異側,C和D也在異側

A和B在異側 : CA Cross CD 和 CB Cross CD 異號

C和D在異側 : AC Cross AB 和 AD Cross AB 異號

例外

交點重疊或線段重疊

CB Cross CD = 0 且 B要在CD內

B要在CD內 : B的x/y介於C和D的x/y 之間