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acm/course/Math

Week 3: Math

輾轉相除法(Euclid’s algorithm)

說明: 可以用來尋找最大公因數

方法: 利用取餘數的方法,來進行遞迴,直到a等於0爲止。

實做

int gcd(int a,inb b)
{
        if(a==0) return b;
        return gcd(b%a , a);      
}

質數(Prime Number)

說明:又稱素數,指某自然數除了1和該數自身外,無法被其它自然數整除。

方法: 利用建立質數表有很多種方法,對於某自然數,利用每個小於它的自然數來對它做除法,看能不能整除。以下有兩種方法,方法一是把每個數的倍數給刪除掉,方法二則是利用質數的規律性建立。方法二需要確認該數是不是質數,所以建立時間上較慢。而方法一建立時間較快,但是記憶體用較多。

方法一:

#define MAX 1000000
bool isprime[MAX];
void Sieve()
{
        memset(isprime,true,sizeof(isprime));
        isprime[0] = isprime[1] = false;
        for(int i = 2; i <= sqrt(MAX); i++)
                if(isprime[i])
                        for(int j = i+=; j<MAX; j+=i)
                                isprime[j] = false;
}

方法二:

#define MAX 1000000
vector<int> prime;
bool isPrime(int n)
{
        for(int i=0; prime[i] * prime[i] <= n; i++)
                if(n%prime[i] == 0)
                        return false;
        return true;
}

void MakePrime()
{
        prime.push_back(2);
        prime.push_back(3);
        for(int i=5,gap=2 ; i<MAX ; i+=gap, gap=6-gap)
                if(isPrime(i)) 
                        prime.push_back(i);
}

精準度(Epsilon)

說明: 電腦的float跟double精準讀位數有限,因此要對比兩個不同的浮點數,需要用到eps來判斷。 float的數值範圍:-3.4e-38 ~ 3.4e38 float的十進位精準度位數:6~7 double的數值範圍:-1.7e-308 ~ 1.7e308 double的十進位精準度位數:14~15

方法: 設 eps = 1e-8(0.00000001); 判斷相等 (a==b):|a - b| < eps ; 判斷不相等 (a!=b):|a - b| > eps; 判斷小於 (a<b):a - b < -eps; 判斷大於 (a>b):a - b > eps;

判斷相等

void Equal(float a, float b)
{
        float eps = 1e-8;
        if( (fabs(a-b)) < eps)
                printf("Yes\n");
        else printf("No\n");
}

判斷不相等

void NEqual(float a, float b)
{
        float eps = 1e-8;
        if( (fabs(a-b)) > eps)
                printf("Yes\n");
        else printf("No\n");
}

判斷小於

void Less(float a, float b)
{
        float eps = 1e-8;
        if( (a-b) < -eps)
                printf("Yes\n");
        else printf("No\n");
}

判斷大於

void Greater(float a, float b)
{
        float eps = 1e-8;
        if( (a-b) > eps)
                printf("Yes\n");
        else printf("No\n");
}

大數(Big Number)

說明: 基於記憶體的有效運用,程式語言中規定了各種不同的資料型態,也因此變數所可以表達的最大整數受到限制,例如123456789123456789這樣的 整數就不可能儲存在long變數中(例如C/C++、Java等),我們稱這種數為大數運算。

方法: 要讓電腦儲存大數,最好的方法就是使用陣列。一個格子存一個數字,只要宣告 1000 格大小的 int 陣列,就可以存 1000 位數了! 我們習慣講低位數放在索引值( index )比較小的位置,這樣的儲存方式有利於進位時的運算。

Hint

在 考慮正負數的情況下,最高位數用來標示正負數,正數的話最高位數會是0000,負數的話最高位數會是9999,負數採10000補數,例如99為0000 0000 0000 0099,而-99為9999 9999 9999 9901,也就是用9999減99表示法每個位數,最後低數位再加1。由 於使用陣列來儲存數值,關於數值在運算時的加減乘除等各種運算、位數的進位或借位就必須自行定義,加、減、乘都是由低位數開始運算,而除法則是由高位數開 始運算。a + b時若b為負數,求b的補數c並改進行a - c;a - b時若b為負數,求b的補數c並改進行a + c,乘法與除法一律先以正數表示運算,之後再判斷正負數決定是否轉為補數。

加法運算

大數的運算有個有趣的地方,就是運算時不用立即進位,可以後來再去一口氣進位。


void add(int a[100], int b[100], int c[100])
{
        int i = 0,carry = 0;
        for(i = 0; i < 100; ++i){
                c[i] = a[i] + b[i] + carry;
                carry = c[i] / 10;
                c[i] %= 10;
        }
}

減法運算

void sub(int a[100], int b[100], int c[100])
{
        int i = 0,borrow = 0;
        for(i = 0; i < 100; ++i){
                c[i] = a[i] - b[i] - borrow;
                if(c[i] < 0){
                        borrow = 1;
                        c[i] += 10;
                }
                else
                        borrow = 0;
        }
}

乘法運算

void mul(int a[100], int b[100], int c[100])
{
        int i = 0, j = 0, carry = 0;
        for(i = 0; i < 100; ++i ){
                if(a[i]==0) continue;
                for(j = 0; j < MAX; ++j)
                        c[i+j] += a[i] * b[i];
        }

        for(i = 0; i < MAX; ++i){
                carry = c[i] / 10;
                c[i] %= 10;
        }
}

除法運算

void div(int a[100], int b[100], int c[100])
{
        int t[100];
        
        for (i = 100-1; i >= 0; i--){
            for (int k=9; k>0; k--) // 嘗試商數
            {
                mul(b+i, k, t);
                if (largerthan(a+i, t))
                {
                    sub(a+i, t, c+i);
                    break;
                }
            }
        } 
}