分享到plurk 分享到twitter 分享到facebook

acm/course/SCC

SCC(Strongly Connected Component)

Graph

互相連接的圖(graph/component)

  • 若是在兩圖間存在成對的節點(vertex),且兩節點存在至少一條連接路徑 & 不可再加進其他節點,則兩圖互相連接。

關鍵節點(articulation(cut-vertex))

  • 移除關鍵節點,則圖一分為二。

關鍵路徑(bridge(cut-edge))

  • 同關鍵節點,移除關鍵路徑,則圖一分為二。
articulation bridge component 示意圖

articulation bridge component 示意圖

Articulation/Bridge

在圖中尋找關鍵節點

  • 因為移除關鍵節點後圖會分離,最簡單直接的方式就是每個點都移除看看。
    • 也就是 V 次 DFS => O(V*(V+E)) 這明顯太慢了。
  • 若不是關鍵節點,則可以找到替代路徑。
    • 那麼只要尋找環,就能達到目的。
    • 方法也是採用 DFS ,但只要 O(V+E) 的時間複雜度。

概念

  • 若節點 u 是關鍵節點。
    • 則 u 的子節點不會連接到u之前的節點。
    • 或 u 是 root & 至少有兩個子節點。
  • 否則僅為節點。
  • 兩關鍵節點間的直接連接路徑,即為關鍵路徑。

演算法

  • 使用變數
    • dfn[i]-時間標記,DFS時初次訪問此節點的順序
    • low[i]=min(dfn[i], lowest low[j])-可以理解為此節點隸屬於哪一關鍵節點之下
  • 關鍵節點
    • u 的子節點不會連接到u之前的節點 -> dfn[i]<=low[j] & j 是 i 的子節點
    • u 是 root & 至少有兩個子節點 -> count child>=2
  • 關鍵路徑
    • 兩關鍵節點 i 、 j -> dfn[u]<low[v] & j 是 i 的子節點
  • Code
void dfs(int pre , int cur){
    int child = 0;
    bool cut_vertex = false;
    low[cur] = dfn[cur] = ++cnt_dfn;

    for(int &i : edge[cur]){
        if(!dfn[i]){
            dfs(cur , i);
            low[cur] = min(low[cur] , low[i]);
            ++child;
            if(low[i] >= dfn[cur]) cut_vertex = true;
        }
        else if(i != pre) low[cur] = min(low[cur] , dfn[i]);
    }

    if(cut_vertex && (child > 1 || pre != -1)) ++ans;
}
運轉示意圖

運轉示意圖

Strongly Connected Component(SCC)

  • 因為一張圖上有環,演算法的效率會變差。
  • 所以我們要想辦法收縮所有的SCC跟環,這樣圖就變成一顆樹,或有向無環圖(DAG)了。

Tarjan

  • Tarjan就是一種演算法,可以用來找到環的個數
    • 演算法中會用到前段的概念,請務必先理解
  • Code
void Tarjan(int cur){
    int top;
    low[cur] = dfn[cur] = ++cnt_dfn;
    stack.push_back(cur);
    in_stack[cur] = true;

    for(int &i : edge[cur]){
        if(!dfn[i]){
            dfs(i);
            low[cur] = min(low[cur] , low[i]);
        }
        else if(in_stack[i]) low[cur] = min(low[cur] , dfn[i]);
    }
    if(dfn[cur] == low[cur]){
        do{
            top = stack.top();
            stack.pop();
            in_stack[top] = false;
        } while(top != cur);
        ++ans;
    }
}
運轉示意圖

運轉示意圖