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Shortest_Path

Shortest Path
- Single Source Shortest Path
- All Pair Shortest Path

Shortest Path

Single Source Shortest Path

若使用Backtracking演算法，將枚舉所有路徑，必會TLE，因此我們將列舉幾項好用DER演算法!!

###Relaxation - 若點v離source的距離為8、點u離source的距離為3，現在有一個點k，(u,k)長度為2、(k,v)長度為1，則對(u,v)做Relax。Relax後點v離source距離更改為6。

Relex(u,v,w){
   if(dis[u]+w(u,v)<dis[v])
       dis[v]=dis[u]+w(u,v);
}

###Bellman Ford - 對所有的邊做n-1次的Relax - 時間複雜度：O(VE)

//Pseudo Code
BellmanFord(){
    //init
    dis[source]=0;
    for(all i != source) 
        dis[i] = INF;
    //n-1 times
    for(i=0;i<n-1;i++)
        for(each edge w(u,v) in G)
            Relax(u,v,w);
}

若有負的cycle，每做一次Relax，source至cycle上點的距離，就會持續變小。
- 偵測辦法：若在第n次做Relax時，若有任何一邊可以被Relax，則有負環存在。

//Pseudo Code
BellmanFord(){
    //init
    dis[source]=0;
    for(all i != source) 
        dis[i] = INF;
    //n-1 times
    for(i=0;i<n-1;i++)
        for(each edge w(u,v) in G)
            Relax(u,v,w);
    //Negative Cycle
    for(each edge w(u,v) in G)
        if(dis[u]+w(u,v)<dis[v])
            return true;
    return false;
}

###SPFA()

All Pair Shortest Path

###Floyd