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acm/course/String_Matching

String Basic

string :有排序的字元集合

substring:一段連續的字串子集合

subsequence:依斷按順序但可不連續的字串子集合

suffix:從後面開始一樣的子字串

prefix:從前面開始一樣的子字串

ex:

String = abcdefg

Substring = “abcd”, “efg”… (連續)

Subsequence = “acdf”, “dfg”…. (不連續)

suffix = “efg”, “defg”….

prefix = “abcd”, “ab”…

Original

方法

兩字串A,B,找出所有B出現在A中的位置,

很直覺的不斷從頭比對,若有字母不符合,則整體再往後退一個,繼續從頭比對

程式碼

for(int i=0; i+lenB<=lenA; ++i)
{
    int mat=0;
    while( mat<lenB && A[i+mat]==B[mat] ) ++mat;
    if(mat == lenB) print(i);
}

簡單的字串比對,時間複雜度為O(|A|),| |表示字串的長度。

過程請見以下:

  • A = “abcdefg”
  • B = “cde”


alt text

worst case

有可能造成時間複雜度成長為O(|A||B|)

過程請見以下:

  • A = “aaaaa….aaa”

  • B = “aaaaa….aab”


alt text

Hashing

就是幫字串分類到有限數字裡

函數f:string -> {0,1,2….}

  • 要求:

1.函數f容易取得

  1. 字串分佈均勻,意即碰撞次數愈小愈好
  • 思考:
  1. f(A) ≠ f(B) ,可以推得 A ≠ B

  2. f(A) = f(B) ,可以推得 A = B or A ≠ B (發生碰撞)

  3. 若分n類,碰撞機率為1/n

Rabin-Karp rolling hash function

類似p進位制,分成q類(mod q,即對q取餘數)

p,q取不同的質數可讓字串分佈的更加均勻

比對:rolling

以拿A,B兩字串比較為例

1.先計算A所有prefix的hash value,時間複雜度為 O(|A|)

2.可以得出任何子字串的hash value

3.枚舉A長度為 |B| 的子字串,比較hash value,時間複雜度為O(n)

ex:

A = “abcdefg”

B = “cde”

KMP

Knuth-Morris-Pratt algorithm

使用時機: 給定A,B兩字串,尋找B字串是否存在A當中

當B的字串內容,本身有重複的字串時,可用KMP以減少重複否配的時間

ex:

B : aabaab

B字串本身重複 “aab”

跳過重複字串

跳過重複字串

方法:先用fail function找出字串B重複的字串

Fail Function

目的:當否配失敗時,能知道字串B要對齊哪裡繼續否配

變數:

B [ ] … 存放字串B

pi [ ] … 紀錄前一個重複字串出現的位置

cur_pos … 目前字串重複的位置

初始化:

cur_pos 初始為 -1 pi[0] 初始為 -1

cur_pos 初始為 -1 pi[0] 初始為 -1

B[cur_pos+1]!=B[i] pi[i]=cur_pos

B[cur_pos+1]!=B[i] pi[i]=cur_pos

程式碼:

void fail(string B, int *pi)
{
        int len = strlen(B);
        pi[0] = -1;
        for( int i = 1, cur_pos = -1; i<len; ++i)
        {
                while(cur_pos >= 0 && B[i] != B[cur_pos+1])
                        cur_pos = pi[cur_pos];
                if(B[i] == B[cur_pos+1])  ++cur_pos;
                pi[i] = cur_pos;
        }
}

Matching

Fail function: 找出各後綴與前綴一樣的最大值

如果後綴 = 前綴 → 可直接位移

String Matching process

示意圖

示意圖

Matching 與 Fail function 的作法類似,差別只在於比較的對象不同

程式碼:

void fail(string A, string B, int *pi)
{
        int lenA = a.length();
        int lenB = b.length();
        for( int i = 0, cur_pos = -1; i<lenA; ++i)
        {
                while(cur_pos >= 0 && A[i] != B[cur_pos+1])
                        cur_pos = pi[cur_pos];
                if(A[i] == B[cur_pos+1])  ++cur_pos;
                if(cur_pos+1 == lenB)
                {
                        /*Match!!!!!*/
                        cur_pos = pi[cur_pos];
                }
        }
}

Fail function + Matching • Complexity – 關鍵: while-loop – cur_pos 每次只會 +1 或往前 – 均攤後 𝒪( A + B )

Z Algorithm

Z_value

從第2個element開始以其為字首,去和以第1個element為首的字串比,找出最長相同字串的長度

Z_Box

最長匹配長度,L表示左邊界,R表示右邊界

如何算出Z_value?

在算Z_value時會有3種case
  • case 1: 自己沒有被別人的Z_Box包住 就乖乖數


  • L在別人的Z_Box內 i’ 為 i 對應到前綴的位置 (像上面表格的aab(i=5)的a 對應到i=1 的a)
  • case 2: 若自己的R在剛剛包含自己的Z_Box裏面 ( i’+z[i’] < z[L] => 沒有超過別人Z_Box的右界) 那麼z( i )=z( i’ )
  • Z_value[5]=Z_value[1]

    Z_value[5]=Z_value[1]


  • case 3: 若i’+z[i’] >= z[L]代表自己的Z_Box的右邊界和包住自己的Z_Box的右邊界重疊或超過
    這時因為無法判斷在包住自己的Z_Box右邊界之後的element情形 所以Z_value只能算到包住自己的Z_Box的右邊界 之後的element都要去一個一個比對
  • for a(i=9) its Z_value is 2 ,differ from Z_value[1]

    for a(i=9) its Z_value is 2 ,differ from Z_value[1]

    Code

    使用方法

    當要看B字串是不是A的子字串時,用一個沒有出現過的符號放在兩者之間, 並用Z algorithm,若A字串內的字元有Z_value等於B的長度,即B出現在A裡面

    A = aabcc B=aab 寫成B $ A => aab $ aabcc

    A = “aabcc” B=“aab” 寫成B $ A => aab $ aabcc